Произведения между вектори

Вземете два вектора и ги умножете. Няма един единствен отговор, защото думата умножение е недоопределена. В нея се крият три различни въпроса. Колко се застъпват векторите? Коя посока е перпендикулярна на двете? Колко пространство обхващат три от тях? Всеки въпрос има своето произведение, и всяко произведение е точно един от тези отговори.

Започнете с фигурата. Тя събира трите произведения на едно място, по една стъпка за всяко. Преминете през нея и гледайте какво измерва всяко: една проекция, едно оцветено лице, един ориентиран обем. Панелът показва стойността на произведението, което е на екрана, така че виждате как расте и се свива, докато влачите.

Скаларното произведение пази само частта от $A$, която сочи натам, накъдето сочи $B$. Спуснете перпендикуляр и прочетете сянката: това е проекцията, а дължината ѝ по дължината на $B$ дава $A\cdot B = |A||B|\cos\theta$. Два факта следват веднага. При прав ъгъл няма сянка, значи произведението е нула, колкото и дълги да са векторите. А при $B = A$ то става $|A|^2$, дължината, за която всяка система е съгласна. Тази инвариантност е причината отговорът да е едно число.

Векторното произведение отговаря на друг въпрос: коя посока е перпендикулярна на двете? Два независими вектора определят равнина, и точно една посока е нормална към нея. Произведението е тази посока, а дължината му е лицето на успоредника: $|A\times B| = |A||B|\sin\theta$. Това е лице със стрелка върху него. Разменете двата вектора и успоредникът не се мени, но стрелката се обръща: $A\times B = -B\times A$. А $A\times A = 0$, защото един вектор не обхваща лице със себе си.

Сега вземете три вектора. $B\times C$ е перпендикулярен на основата, а скаларното му умножение с $A$ пази само височината на $A$ над тази основа. Значи $A\cdot(B\times C)$ е лице на основата по височина: обемът на паралелепипеда, със знак за ориентация. Ето наградата. Плъзнете $C$ в равнината на $A$ и $B$ и височината изчезва, значи обемът е нула. Нулево смесено произведение е точно тестът за компланарност. Детерминантата е измервала обем през цялото време.

Кратко правило за всяко произведение, което срещнете. Трябва ви колко от единия вектор лежи по другия? Вземете скаларното произведение и получете скалар. Трябва ви посоката, перпендикулярна на два вектора? Вземете векторното произведение и получете вектор. Трябва ви обемът, който три вектора обхващат? Вземете смесеното произведение и получете скалар. Мерните единици потвърждават избора: работата трябва да излезе енергия, значи само скаларно произведение може да я даде; ъгловият момент трябва да излезе вектор, значи само векторно произведение може.

Значи трите произведения не са три конвенции. Те са три измервания: застъпване, лице, обем. Досега всичко работеше с числа, прикачени към точки. Следващият въпрос пита как тези величини се менят от точка до точка, а това е началото на теорията на полетата.