Векторни величини и законите им на трансформация

Две позиции и едно преместване. На картинката те са един и същ вид обект: стрелка с връх и дължина. Ако картинката беше определението, те щяха да са взаимозаменяеми. Вижте какво се случва, когато системата се премести. Не са.

Плъзнете началото, после завъртете осите. Забележете, двете стрелки се държат различно. Позициите $r_1$ и $r_2$ се мерят от началото, затова подскачат, когато то се мести. Свободният вектор $A$ не: той само се завърта със системата. Едно измерване се промени по две напълно различни причини. Кое от тях е допустимо в уравнение?

Опитайте първо разликата. Стрелката от $P_2$ до $P_1$ не се интересува къде е началото, така че изваждането на позициите съкращава транслацията: $x_i^{(1)} - x_i^{(2)} = \alpha_{ij}(x_j^{(1)'} - x_j^{(2)'})$. Това, което остава, се трансформира по векторния закон $A_i = \alpha_{ij}A_j'$. Затова преместването е вектор, а скоростта, преместване за интервал време, също.

Сега опитайте сбора. Транслацията се появява два пъти: $x_i^{(1)} + x_i^{(2)} = 2a_i + \alpha_{ij}(x_j^{(1)'} + x_j^{(2)'})$. Тази останала $2a_i$ е признакът. Двама наблюдатели с различни начала получават различни отговори, значи обектът не описва нищо. Ето ключа: проблемът не е, че сборът е труден за смятане. Проблемът е, че сборът не е определен.

Ето че вече можем да кажем какво е вектор. Не стрелка: правило. Една величина е вектор, когато компонентите ѝ се менят по $A_i = \alpha_{ij}A_j'$. Скаларът се трансформира като $c = c'$. Позицията се трансформира като $x_i = a_i + \alpha_{ij}x_j'$. Тензорът от втори ранг носи ротацията по двата индекса, $\Phi_{ij} = \alpha_{ik}\alpha_{jl}\Phi_{kl}'$. Правилото е определението, а стрелката е само картинка на третия случай.

Ето тест, който можете да приложите към всичко. Преструвайте се, че сменяте системата, и се питайте на кой закон се подчинява. Ако следва някой, стойността му е факт и физиката може да го използва. Ако не следва никой, тя е инцидент на вашите оси. Разликата на две позиции оцелява. Сборът им не. Следва въпросът как да умножаваме два вектора, и същият тест ще реши кое произведение е допустимо.