Координатни системи и трансформации

Отбележете една точка в равнината. Това е всичко. Тя още няма числа, защото няма спрямо какво да я измерим. Точката е място, а не двойка координати. Преди да смятаме с нея, трябва да изберем с какво да смятаме.

Сега начертайте две оси през начало. Същата точка получава две числа: колко надалеч по всяка ос се намира. Тази двойка е система, и забележете, системата е нещо, което вие налагате. Точката не е придобила дължина или посока. Вие просто избрахте линия.

Ето я загадката. Завъртете осите на някакъв ъгъл. Точката не е мръднала, а числата ѝ се менят. Но защо трябва да се менят, ако точката не е направила нищо? Преминете през фигурата. Синята система се люлее, зелената точка стои, а двете координати сами преминават през цял интервал. Числата се смениха, защото линията се смени.

Какво е координата всъщност? Спуснете перпендикуляр от точката към дадена ос. Петата на този перпендикуляр е координатата. Числото е дължината на една сянка. Със символи, $x_1' = P\cdot e_1'$ и $x_2' = P\cdot e_2'$: проектирайте точката върху всяка нова ос и прочетете проекцията. Ето ключа, същата точка сега хвърля две различни сенки, защото източникът на светлина се премести.

За да превърнете числата на една система в числата на друга, трябва само да знаете накъде сочат новите оси, изразени на стария език. Всяка нова ос става колона на матрицата на ротацията. Елементите ѝ са косинусите на ъглите между старите и новите оси, така че $\alpha_{ij} = \cos(\angle e_i, e_j')$. Спрете се на минуса: първата нова ос се накланя встрани от $e_1$, затова втората ѝ компонента е $-\sin\varphi$. Матрицата е таблица от посоки.

Ротацията е смяна на описанието, никога деформация на пространството. Затова две неща са неприкосновени: дължината на всеки вектор и посоката на въртене на системата. На езика на матриците, $\alpha\alpha^{\top} = \delta$ и $\det\alpha = 1$. Завъртете ъгъла и се опитайте да счупите някое от двете. Не може, и точно тази невъзможност пази физиката еднаква за всеки наблюдател.

Това е цялата идея. Системата е кодиране. Трансформацията е смяна на кодирането. Матрицата на ротацията не е нищо друго освен новите оси, записани чрез старите. Преместванията и скоростите ще наследят точно това правило, а тензорът ще го потърси два пъти, по веднъж за всеки индекс. Но кои величини изобщо имат право да следват това правило? Това е следващият въпрос.